1. Datos del problema:
Ecuación racional trigonométrica. Restricción: $\cos x \neq -1$.

2. Desarrollo paso a paso:
Multiplicamos en cruz:
$$ 2(1 + \sin x) = 1 + \cos x $$
$$ 2 + 2 \sin x = 1 + \cos x \implies \cos x - 2 \sin x = 1 $$
Usamos la sustitución de ángulo mitad $t = \tan(x/2)$, donde $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ y $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$:
$$ \frac{1-t^2}{1+t^2} - 2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) = 1 $$
$$ 1 - t^2 - 4t = 1 + t^2 $$
$$ 2t^2 + 4t = 0 \implies 2t(t + 2) = 0 $$
Las soluciones para $t$ son:
1) $t = 0 \implies \tan(x/2) = 0 \implies x/2 = k\pi \implies x = 2k\pi$
2) $t = -2 \implies \tan(x/2) = -2 \implies x = 2(k\pi - \arctan 2)$

4. Resultado:
$$ \boxed{x = 2k\pi; \quad x = 2k\pi - 2\arctan 2} $$