1. Datos del problema:
Ecuación con ángulo doble y tangente simple. Restricción: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$.

2. Fórmulas y propiedades:

• $\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos $\sin 2x$ en términos de $\tan x$. Sea $u = \tan x$:
$$ \frac{2u}{1 + u^2} + u = 2 $$
Multiplicamos todo por $(1 + u^2)$:
$$ 2u + u(1 + u^2) = 2(1 + u^2) $$
$$ 2u + u + u^3 = 2 + 2u^2 \implies u^3 - 2u^2 + 3u - 2 = 0 $$
Probamos raíces racionales. Para $u=1$: $1 - 2 + 3 - 2 = 0$. Por tanto, $(u-1)$ es factor:
$$ (u-1)(u^2 - u + 2) = 0 $$
El discriminante de $u^2 - u + 2$ es $D = (-1)^2 - 4(1)(2) = -7 < 0$, no tiene raíces reales adicionales.
Entonces:
$$ u = 1 \implies \tan x = 1 $$

4. Resultado:
$$ \boxed{x = k\pi + \frac{\pi}{4} \quad (k \in \mathbb{Z})} $$