1. Datos del problema:
La ecuación involucra funciones de ángulo cuádruple ($4x$). Buscamos los valores de $x$ que satisfacen la igualdad.

2. Fórmulas y propiedades:

• Identidad fundamental: $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \implies 1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$


• Ángulo doble: $\sin \theta = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$

3. Desarrollo paso a paso:
Reordenamos la ecuación para agrupar el término constante con el coseno:
$$ 2 \sin 4x = 1 - \cos 4x $$
Aplicamos las identidades de ángulo mitad/doble considerando $\theta = 4x$:
$$ 2(2 \sin 2x \cos 2x) = 2 \sin^2 2x $$
Simplificamos dividiendo entre 2:
$$ 2 \sin 2x \cos 2x - \sin^2 2x = 0 $$
Factorizamos el término común $\sin 2x$:
$$ \sin 2x (2 \cos 2x - \sin 2x) = 0 $$
Esto nos da dos posibles casos:

Caso 1: $\sin 2x = 0$
$$ 2x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{2} $$

Caso 2: $2 \cos 2x - \sin 2x = 0$
$$ \sin 2x = 2 \cos 2x \implies \tan 2x = 2 $$
$$ 2x = \arctan(2) + k\pi \implies x = \frac{1}{2}\arctan(2) + \frac{k\pi}{2} $$

4. Resultado:
$$ \boxed{x = \frac{k\pi}{2}; \quad x = \frac{1}{2}\arctan(2) + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})} $$