1. Datos del problema:
Ecuación con funciones cotangente, seno y coseno.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$


• Identidad de ángulo medio: $\frac{\sin x}{1 + \cos x} = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$


• $\cot x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{2\tan(x/2)}$

3. Desarrollo paso a paso:
Expresamos todo en términos de senos y cosenos:
$$ \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 2 $$
Sumamos las fracciones:
$$ \frac{\cos x (1 + \cos x) + \sin^2 x}{\sin x (1 + \cos x)} = 2 $$
$$ \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{\sin x (1 + \cos x)} = 2 $$
Usamos $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$:
$$ \frac{\cos x + 1}{\sin x (1 + \cos x)} = 2 $$
Simplificamos términos comunes (asumiendo $1 + \cos x \neq 0$):
$$ \frac{1}{\sin x} = 2 $$
$$ \sin x = \frac{1}{2} $$
Los valores para $x$ en el primer ciclo son:
$$ x_1 = 30^\circ, \quad x_2 = 150^\circ $$

4. Conclusión:
En términos generales para $k \in \mathbb{Z}$:
$$ \boxed{x = 30^\circ + 360^\circ k \quad \lor \quad x = 150^\circ + 360^\circ k} $$