1. Datos del problema:
Se presenta una ecuación que relaciona el coseno con una expresión racional de tangentes.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Identidad fundamental: $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$.


• Relación recíproca: $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.


• Definición de tangente: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos la identidad pitagórica en el denominador del segundo miembro:
$$ \cos x = \frac{\tan x}{\sec^2 x} $$
Expresamos el segundo miembro en términos de seno y coseno:
$$ \begin{aligned} \cos x &= \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos^2 x}} \\ \cos x &= \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^2 x \\ \cos x &= \sin x \cos x \end{aligned} $$
Igualamos a cero para factorizar:
$$ \cos x - \sin x \cos x = 0 $$
$$ \cos x (1 - \sin x) = 0 $$
Obtenemos dos casos:

• Caso 1: $\cos x = 0$. Esto ocurre cuando $x = 90^\circ + 180^\circ k$. Sin embargo, la ecuación original contiene $\tan x$, la cual no está definida para estos valores. Por lo tanto, esta solución se descarta.


• Caso 2: $1 - \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = 1$. Esto ocurre cuando $x = 90^\circ + 360^\circ k$. Nuevamente, en estos puntos la tangente es indeterminada.

Revisando el planteamiento, si $\cos x \neq 0$, podemos dividir ambos lados por $\cos x$:
$$ 1 = \sin x $$
Dado que para $\sin x = 1$ el valor de $\cos x$ es necesariamente $0$ (por $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$), y esto hace que la tangente sea indefinida, la ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales donde la función esté definida.

4. Conclusión:
Debido a la restricción del dominio de la función tangente:
$$ \boxed{\nexists x \in \mathbb{R}} $$