1. Datos del problema:
Ecuación que involucra ángulo mitad $x/2$ y ángulo simple $x$.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Identidad de la tangente del ángulo mitad: $\tan \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$
• Identidad de la cotangente: $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$

3. Desarrollo paso a paso:

Sustituimos las identidades para tener un denominador común $\sin x$:
$$ 3 \left( \frac{1 - \cos x}{\sin x} \right) + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{5}{\sin x} $$

Multiplicamos por $\sin x$ (considerando $\sin x \neq 0$):
$$ 3(1 - \cos x) + \cos x = 5 $$

Expandimos y simplificamos:
$$ 3 - 3 \cos x + \cos x = 5 $$
$$ -2 \cos x = 2 $$
$$ \cos x = -1 $$

4. Conclusión:
El valor de $x$ para el cual el coseno es $-1$ es $x = \pi + 2k\pi$. Sin embargo, debemos verificar la restricción inicial: $\sin x \neq 0$.
Si $\cos x = -1$, entonces $\sin x = 0$. Por lo tanto, la solución propuesta invalida los denominadores originales.

$$ \boxed{\text{Sin solución}} $$