1. Datos del problema:
Ecuación que mezcla el ángulo mitad $\frac{x}{2}$ con el ángulo simple $x$.

2. Fórmulas y propiedades:

• Identidad del ángulo mitad: $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$.


• Identidad fundamental: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos la identidad del ángulo mitad en la ecuación original:
$$ 8 \left( \frac{1 - \cos x}{2} \right) - 3 \sin x - 4 = 0 $$
Simplificamos:
$$ 4(1 - \cos x) - 3 \sin x - 4 = 0 $$
$$ 4 - 4 \cos x - 3 \sin x - 4 = 0 $$
$$ -4 \cos x - 3 \sin x = 0 $$
Trasponemos términos:
$$ 3 \sin x = -4 \cos x $$
Dividimos entre $\cos x$ (asumiendo $\cos x \neq 0$):
$$ 3 \tan x = -4 \implies \tan x = -\frac{4}{3} $$
El valor de $x$ se obtiene mediante la función arco tangente:
$$ x = \arctan\left(-\frac{4}{3}\right) + k\pi $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = -\arctan\left(\frac{4}{3}\right) + k\pi} $$