1. Datos del problema:
Se trata de una ecuación trigonométrica homogénea de cuarto grado respecto a $\sin x$ y $\cos x$.

2. Fórmulas y propiedades:

• Definición de tangente: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$.


• Factorización de un trinomio de la forma $ax^2 + bx + c$.

3. Desarrollo paso a paso:
Para resolver este tipo de ecuaciones, dividimos todos los términos por la potencia más alta del coseno, en este caso $\cos^4 x$:
$$ \frac{\sin^2 x \cos^2 x}{\cos^4 x} - \frac{10 \sin x \cos^3 x}{\cos^4 x} + \frac{21 \cos^4 x}{\cos^4 x} = 0 $$
Simplificando cada término:
$$ \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 - 10 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) + 21 = 0 $$
Sustituimos $\tan x = u$:
$$ u^2 - 10u + 21 = 0 $$
Factorizamos el trinomio buscando dos números que multiplicados den 21 y sumados den -10:
$$ (u - 7)(u - 3) = 0 $$

Esto nos da dos casos para $u = \tan x$:

• Caso 1: $\tan x = 7 \implies x = \arctan(7) + k\pi$
• Caso 2: $\tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + k\pi$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \arctan(7) + k\pi, \quad x = \arctan(3) + k\pi} $$