1. Datos del problema:
Ecuación con diferentes argumentos ($3x$ y $5x$).

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Identidad del seno de una suma: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$.


• Transformación de suma a producto: $\sin A - \sin B = 2 \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \cos\left(\frac{A+B}{2}\right)$.

3. Desarrollo paso a paso:
Reconocemos que $\frac{1}{2} = \cos 60^\circ$ y $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60^\circ$. El lado izquierdo se convierte en:
$$ \sin 3x \cos 60^\circ + \cos 3x \sin 60^\circ = \sin 5x $$
$$ \sin(3x + 60^\circ) = \sin 5x $$
Igualamos a cero:
$$ \sin 5x - \sin(3x + 60^\circ) = 0 $$
Aplicamos la transformación a producto:
$$ 2 \sin\left(\frac{5x - (3x + 60^\circ)}{2}\right) \cos\left(\frac{5x + (3x + 60^\circ)}{2}\right) = 0 $$
$$ 2 \sin(x - 30^\circ) \cos(4x + 30^\circ) = 0 $$

Esto nos da dos conjuntos de soluciones:
1) $\sin(x - 30^\circ) = 0 \implies x - 30^\circ = 180^\circ k \implies x = 30^\circ + 180^\circ k$
2) $\cos(4x + 30^\circ) = 0 \implies 4x + 30^\circ = 90^\circ + 180^\circ k \implies 4x = 60^\circ + 180^\circ k \implies x = 15^\circ + 45^\circ k$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{6} + \pi k; \quad x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{4}} $$