1. Datos del problema:
Se presenta una ecuación de la forma $a \sin \theta + b \cos \theta = c$, donde $\theta = 2x$.

2. Fórmulas o propiedades usadas:
Utilizaremos el método de introducción de un ángulo auxiliar. Dividiremos toda la ecuación por $A = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Para $a = \sqrt{3}$ y $b = 1$:
$$ A = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2 $$
Recordamos que $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ y $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

3. Desarrollo paso a paso:
Dividimos la ecuación original entre 2:
$$ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + \frac{1}{2} \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} $$
Aplicamos la identidad de la suma de ángulos para el seno, $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$:
$$ \sin 2x \cos 30^\circ + \cos 2x \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $$
$$ \sin(2x + 30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$
Sabemos que $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ cuando $\theta = 45^\circ + 360^\circ k$ o $\theta = 135^\circ + 360^\circ k$.

Caso 1:
$$ 2x + 30^\circ = 45^\circ + 360^\circ k \implies 2x = 15^\circ + 360^\circ k \implies x = 7.5^\circ + 180^\circ k $$
Caso 2:
$$ 2x + 30^\circ = 135^\circ + 360^\circ k \implies 2x = 105^\circ + 360^\circ k \implies x = 52.5^\circ + 180^\circ k $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{24} + \pi k; \quad x = \frac{7\pi}{24} + \pi k \quad (k \in \mathbb{Z})} $$