1. Datos y propiedades:
Agrupamos los términos de manera conveniente para usar la transformación de suma a producto: $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$.

2. Desarrollo paso a paso:
Agrupamos $\sin x$ y $\sin 3x$:
$$ (\sin 3x + \sin x) + \sin 2x = 0 $$
Aplicamos la fórmula:
$$ 2 \sin \left( \frac{3x + x}{2} \right) \cos \left( \frac{3x - x}{2} \right) + \sin 2x = 0 $$
$$ 2 \sin 2x \cos x + \sin 2x = 0 $$

Factorizamos $\sin 2x$:
$$ \sin 2x (2 \cos x + 1) = 0 $$

3. Resolución de factores:
Factor 1: $\sin 2x = 0$
$$ 2x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{2} $$

Factor 2: $2 \cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2}$
$$ x = 2k\pi \pm \frac{2\pi}{3} $$

Resultado:
$$ \boxed{x = \frac{k\pi}{2}, \quad x = 2k\pi \pm \frac{2\pi}{3}; \quad k \in \mathbb{Z}} $$