1. Datos y propiedades:
Recordamos la identidad del ángulo doble: $2 \cos^2 x - 1 = \cos 2x$.

2. Desarrollo paso a paso:
Reorganizamos la ecuación original:
$$ 2 \cos^2 x - 1 + \cos 5x = 0 $$
Sustituimos la identidad:
$$ \cos 2x + \cos 5x = 0 $$
$$ \cos 5x = -\cos 2x $$

Usamos la propiedad $\cos(\theta) = -\cos(\alpha)$ que implica $\cos(\theta) = \cos(\pi - \alpha)$ o resolvemos mediante la suma de cosenos:
$$ \cos 5x + \cos 2x = 0 $$
Aplicamos la fórmula de transformación de suma a producto $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$:
$$ 2 \cos \left( \frac{5x + 2x}{2} \right) \cos \left( \frac{5x - 2x}{2} \right) = 0 $$
$$ 2 \cos \left( \frac{7x}{2} \right) \cos \left( \frac{3x}{2} \right) = 0 $$

3. Análisis de factores:
Caso 1: $\cos \left( \frac{7x}{2} \right) = 0$
$$ \frac{7x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies 7x = \pi + 2k\pi \implies x = \frac{(2k+1)\pi}{7} $$

Caso 2: $\cos \left( \frac{3x}{2} \right) = 0$
$$ \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies 3x = \pi + 2k\pi \implies x = \frac{(2k+1)\pi}{3} $$

Resultado:
$$ \boxed{x = \frac{(2k+1)\pi}{7}, \quad x = \frac{(2k+1)\pi}{3}; \quad k \in \mathbb{Z}} $$