1. Datos del problema:
Ecuación trigonométrica con términos de segundo grado y un término mixto, igualada a una constante.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Identidad fundamental: $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$.
• División por $\cos^2 x$ para transformar a $\tan x$.

3. Desarrollo paso a paso:
Primero, expresamos el número 2 en términos de funciones trigonométricas usando la identidad fundamental:
$$ 3 \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) $$
$$ 3 \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x $$

Trasponemos términos al primer miembro:
$$ (3 \sin^2 x - 2 \sin^2 x) + 2 \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0 $$
$$ \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0 $$

Dividimos entre $\cos^2 x$:
$$ \tan^2 x + 2 \tan x - 2 = 0 $$

Aplicamos la fórmula cuadrática para $\tan x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
$$ \tan x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} $$
$$ \tan x = -1 \pm \sqrt{3} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \arctan(-1 \pm \sqrt{3}) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}} $$