1. Datos del problema:
Se presenta una ecuación trigonométrica de segundo grado con respecto a las funciones seno y coseno, que incluye un término con ángulo doble.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Identidad del ángulo doble: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
• Identidad fundamental (opcional para homogeneizar): $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
• Identidad de la tangente: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos la identidad del ángulo doble en la ecuación original:
$$ \sin^{2} x + 3 \cos^{2} x - 2(2 \sin x \cos x) = 0 $$
$$ \sin^{2} x - 4 \sin x \cos x + 3 \cos^{2} x = 0 $$

Para resolver esta ecuación homogénea de segundo grado, dividimos toda la expresión entre $\cos^{2} x$ (asumiendo $\cos x \neq 0$):
$$ \frac{\sin^{2} x}{\cos^2 x} - \frac{4 \sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{3 \cos^{2} x}{\cos^2 x} = 0 $$
$$ \tan^2 x - 4 \tan x + 3 = 0 $$

Esta es una ecuación cuadrática en términos de $\tan x$. Factorizamos buscando dos números que multiplicados den $3$ y sumados den $-4$:
$$ (\tan x - 3)(\tan x - 1) = 0 $$

Obtenemos dos casos:

• Caso 1: $\tan x - 1 = 0 \implies \tan x = 1$
  $$ x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$
• Caso 2: $\tan x - 3 = 0 \implies \tan x = 3$
  $$ x = \arctan(3) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x_1 = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad x_2 = \arctan(3) + k\pi} $$