1. Datos del problema:
Ecuación con ángulos que superan el primer cuadrante.

2. Propiedades usadas:
Reducción al primer cuadrante:

• $\sin(n\pi - \alpha) = \sin \alpha$ si $n$ es impar.
• $\cos(\alpha + n\pi) = -\cos \alpha$ si $n$ es impar.

3. Desarrollo paso a paso:
Simplificamos los términos:
$$ \sin(5\pi - x) = \sin x $$
$$ \cos(2x + 7\pi) = -\cos 2x $$

La ecuación queda:
$$ \sin x = -\cos 2x $$
Usamos la identidad del ángulo doble $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:
$$ \sin x = -(1 - 2\sin^2 x) $$
$$ \sin x = -1 + 2\sin^2 x $$
$$ 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 $$

Factorizamos la ecuación cuadrática en términos de $\sin x$:
$$ (2\sin x + 1)(\sin x - 1) = 0 $$

Soluciones para $\sin x$:
1. $\sin x = 1 \implies x = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$
2. $\sin x = -\frac{1}{2} \implies x = 2k\pi - \frac{\pi}{6}$ o $x = 2k\pi + \frac{7\pi}{6}$

4. Resultado:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi; \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi; \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi} $$