1. Datos del problema:
Ecuación con ángulo doble y una suma de funciones en el segundo miembro.

2. Fórmulas y propiedades:
$\cos 2x = \cos^{2} x - \sin^{2} x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos la diferencia de cuadrados:
$$ \sqrt{2} (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) = (\cos x + \sin x) $$
Igualamos a cero para factorizar:
$$ (\cos x + \sin x) [\sqrt{2}(\cos x - \sin x) - 1] = 0 $$

• Caso 1: $\cos x + \sin x = 0 \implies \tan x = -1$
  $$ x = \frac{3\pi}{4} + k\pi $$
• Caso 2: $\sqrt{2}(\cos x - \sin x) = 1 \implies \cos x - \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$
  Usando la forma $R \cos(x + \alpha)$: $\sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$
  $$ x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \frac{3\pi}{4} + k\pi; \quad x = \frac{\pi}{12} + 2k\pi; \quad x = -\frac{7\pi}{12} + 2k\pi} $$