1. Datos del problema:
Ecuación cuadrática en términos de funciones trigonométricas con un coeficiente irracional.

2. Fórmulas y propiedades:
Identidad fundamental: $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos para obtener una ecuación en términos de $\cos x$:
$$ \sqrt{2}(1 - \cos^{2} x) + \cos x = 0 $$
$$ \sqrt{2} - \sqrt{2} \cos^{2} x + \cos x = 0 $$
Ordenamos como una ecuación cuadrática:
$$ \sqrt{2} \cos^{2} x - \cos x - \sqrt{2} = 0 $$
Aplicamos la fórmula general para $u = \cos x$:
$$ \cos x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(\sqrt{2})(-\sqrt{2})}}{2\sqrt{2}} $$
$$ \cos x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2\sqrt{2}} = \frac{1 \pm 3}{2\sqrt{2}} $$
Obtenemos dos valores:

• $\cos x = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ (Imposible, $\sqrt{2} > 1$)
• $\cos x = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Para $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$$ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{y} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi} $$