1. Datos del problema:
Se presenta una ecuación trigonométrica que involucra el seno cuadrado y el coseno del mismo ángulo doble $2x$.

2. Fórmulas y propiedades:
Utilizaremos la identidad fundamental de la trigonometría para expresar toda la ecuación en términos de una sola función (coseno):
$$ \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1 \implies \sin^{2} \theta = 1 - \cos^{2} \theta $$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos $\sin^{2} 2x$ por $1 - \cos^{2} 2x$:
$$ 3(1 - \cos^{2} 2x) + 7 \cos 2x = 3 $$
Efectuamos el producto:
$$ 3 - 3 \cos^{2} 2x + 7 \cos 2x = 3 $$
Restamos 3 en ambos miembros y multiplicamos por $-1$ para simplificar:
$$ -3 \cos^{2} 2x + 7 \cos 2x = 0 \implies 3 \cos^{2} 2x - 7 \cos 2x = 0 $$
Factorizamos por factor común $\cos 2x$:
$$ \cos 2x (3 \cos 2x - 7) = 0 $$
Esto genera dos posibles casos:

• Caso 1: $\cos 2x = 0$
  $$ 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} $$
• Caso 2: $3 \cos 2x - 7 = 0 \implies \cos 2x = \frac{7}{3}$
  Como $|\cos \theta| \leq 1$, este caso no tiene solución real ya que $\frac{7}{3} > 1$.

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}} $$