1. Datos del problema:
Ecuación trigonométrica reducible a una de segundo grado.

2. Fórmulas y propiedades:

• Identidad pitagórica: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.


• Fórmula general de la ecuación cuadrática.

3. Desarrollo paso a paso:
Expresamos el término $\cos^2 x$ en función de $\sin x$:
$$ 2(1 - \sin^2 x) + 5 \sin x - 4 = 0 $$
$$ 2 - 2\sin^2 x + 5 \sin x - 4 = 0 $$
Multiplicamos por $-1$ para normalizar la cuadrática:
$$ 2\sin^2 x - 5 \sin x + 2 = 0 $$
Sea $u = \sin x$, resolvemos $2u^2 - 5u + 2 = 0$:
$$ u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(2)(2)}}{2(2)} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} $$
$$ u_1 = \frac{5+3}{4} = 2, \quad u_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2} $$

Analizamos las soluciones para $x$:

• $\sin x = 2$: No tiene solución real ya que el rango del seno es $[-1, 1]$.


• $\sin x = 1/2$:

$$ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi $$

4. Conclusión:
Las soluciones dentro del rango principal son $30^\circ$ y $150^\circ$. En forma general:
$$ \boxed{x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + k\pi} $$