1. Datos del problema:
Ecuación trigonométrica que mezcla potencias cúbicas del seno y el coseno de un ángulo doble.

2. Fórmulas y propiedades:

• Identidad de ángulo doble: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.


• Identidad fundamental: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos $\cos 2x$ para tener toda la ecuación en función de $\sin x$:
$$ 2 \sin^3 x - (1 - 2\sin^2 x) - \sin x = 0 $$
Ordenamos la ecuación:
$$ 2 \sin^3 x + 2 \sin^2 x - \sin x - 1 = 0 $$
Factorizamos por agrupación de términos:
$$ (2 \sin^3 x + 2 \sin^2 x) - (\sin x + 1) = 0 $$
$$ 2\sin^2 x (\sin x + 1) - 1(\sin x + 1) = 0 $$
$$ (\sin x + 1) (2\sin^2 x - 1) = 0 $$

De aquí obtenemos dos casos:

• Caso 1: $\sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = -1$

$$ x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi $$

• Caso 2: $2\sin^2 x - 1 = 0 \Rightarrow \sin^2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} $$

4. Conclusión:
Combinando las soluciones, el conjunto solución es:
$$ \boxed{x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}} $$