1. Restricciones:
La función \(\tan \frac{x}{2}\) no está definida cuando su argumento es \(\frac{\pi}{2} + k\pi\).
$$ \frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x \neq \pi + 2k\pi $$

2. Separación de factores:
$$ 1 + \cos x = 0 \quad \text{o} \quad \tan \frac{x}{2} = 0 $$

3. Desarrollo:

• Si \( 1 + \cos x = 0 \), entonces \( \cos x = -1 \). Esto ocurre cuando \( x = \pi + 2k\pi \). Pero esta solución está excluida por la restricción de la tangente.
• Si \( \tan \frac{x}{2} = 0 \), entonces \( \frac{x}{2} = k\pi \).

4. Resultado:
Multiplicando por 2 obtenemos la solución final:
$$ \boxed{x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}} $$