1. Datos y restricciones
El denominador debe ser distinto de cero: $\cos 2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$.

2. Desarrollo paso a paso
Para que la fracción sea cero, el numerador debe ser igual a cero:
$$ \sin x + \cos x = 0 $$
Dividimos entre $\cos x$ (asumiendo $\cos x \neq 0$):
$$ \begin{aligned} \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} &= 0 \\ \tan x + 1 &= 0 \\ \tan x &= -1 \end{aligned} $$
Los valores de $x$ que satisfacen $\tan x = -1$ son:
$$ x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$

3. Verificación de restricciones
Si $x = \frac{3\pi}{4} + k\pi$, entonces $2x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$.
Evaluamos el denominador: $\cos(2x) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.
Como el valor que hace cero al numerador también hace cero al denominador, la expresión es indeterminada en esos puntos.

4. Conclusión
No existen valores de $x$ que satisfagan la ecuación original debido a la restricción del denominador.

$$ \boxed{\nexists x \in \mathbb{R}} $$