1. Uso de identidades de producto a suma:
Utilizamos las identidades de producto de senos y cosenos:
$$ \sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)] $$
$$ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)] $$
Aplicando a nuestro sistema con $A = x+y$ y $B = x-y$:
$$ \begin{cases} \frac{1}{2}[\cos(2y) - \cos(2x)] = -\frac{1}{2} & \implies \cos 2y - \cos 2x = -1 \quad (I) \\ \frac{1}{2}[\cos(2y) + \cos(2x)] = \frac{1}{2} & \implies \cos 2y + \cos 2x = 1 \quad (II) \end{cases} $$

2. Resolución del sistema lineal para las funciones:
Sumamos las ecuaciones $(I)$ y $(II)$:
$$ 2\cos 2y = 0 \implies \cos 2y = 0 $$
Restamos la ecuación $(I)$ de la $(II)$:
$$ 2\cos 2x = 2 \implies \cos 2x = 1 $$

3. Determinación de la variable $y$:
Buscamos los valores donde el coseno es cero:
$$ 2y = n\pi + \frac{\pi}{2} = (2n + 1)\frac{\pi}{2} $$
Dividiendo entre $2$:
$$ y = (2n + 1)\frac{\pi}{4} $$
Este resultado se puede expresar equivalentemente como múltiplos de $\pi$ más o menos un cuarto de $\pi$:
$$ y = n\pi \pm \frac{\pi}{4} $$

$$ \boxed{y = \left( n \pm \frac{1}{4} \right)\pi} $$