1. Identificación de datos y propiedades:
Recordemos las definiciones de las funciones recíprocas:
$$ \csc x = \frac{1}{\sin x} \quad \text{y} \quad \sec x = \frac{1}{\cos x} $$
Además, utilizaremos la identidad fundamental $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ y la fórmula del coseno de la diferencia:
$$ \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $$

2. Reordenamiento del sistema:
Pasamos los términos con las mismas variables a un lado para despejar las fracciones:
$$ \begin{array}{rll} (I) & \sin x - \sin y = \frac{1}{\sin x} & \implies \sin^2 x - \sin x \sin y = 1 \\ (II) & \cos x - \cos y = \frac{1}{\cos x} & \implies \cos^2 x - \cos x \cos y = 1 \end{array} $$

3. Suma de las ecuaciones:
Sumamos miembro a miembro las ecuaciones resultantes para aprovechar la identidad pitagórica:
$$ (\sin^2 x + \cos^2 x) - (\sin x \sin y + \cos x \cos y) = 1 + 1 $$
Sustituimos las identidades conocidas:
$$ 1 - \cos(x - y) = 2 $$

4. Resolución para la diferencia de ángulos:
Despejamos el coseno:
$$ -\cos(x - y) = 1 \implies \cos(x - y) = -1 $$
Para que el coseno de un ángulo sea $-1$, dicho ángulo debe ser un múltiplo impar de $\pi$ (o $180^\circ$):
$$ x - y = (2n + 1)\pi, \quad n \in \mathbb{Z} $$

$$ \boxed{x - y = (2n \pm 1)\pi} $$