1. Uso de identidades de suma y resta:
Recordamos las fórmulas para el coseno de la suma y la resta:
$$ \begin{array}{l} \cos(x + y) = \cos x \cos y - \text{sen } x \text{ sen } y \\ \cos(x - y) = \cos x \cos y + \text{sen } x \text{ sen } y \end{array} $$

2. Sustitución de valores:
Para la suma:
$$ \cos(x + y) = \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 \implies x + y = 360^\circ \text{ (en una vuelta)} $$
Para la resta:
$$ \cos(x - y) = \frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) = 0 \implies x - y = 90^\circ \text{ ó } x - y = 270^\circ $$

3. Resolución por casos:
Caso A: $x+y = 360^\circ$ y $x-y = 90^\circ$
$$ 2x = 450^\circ \implies x = 225^\circ \quad ; \quad y = 360^\circ - 225^\circ = 135^\circ $$
Caso B: $x+y = 360^\circ$ y $x-y = 270^\circ$
$$ 2x = 630^\circ \implies x = 315^\circ \quad ; \quad y = 360^\circ - 315^\circ = 45^\circ $$

Resultado:
$$ \boxed{(x = 225^\circ, y = 135^\circ) \text{ y } (x = 315^\circ, y = 45^\circ)} $$