Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TREC_124
Práctica de Trigonometría
Enunciado
Sabiendo que: $0 < x < \pi, 0 < y < \pi$, resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} \text{sen } x + \text{sen } y = \frac{\sqrt{6}}{2} \\ \cos x + \cos y = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \text{sen } x + \text{sen } y = \frac{\sqrt{6}}{2} \\ \cos x + \cos y = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} $$
Solución Paso a Paso
1. Identificación de propiedades:
Para resolver este sistema, utilizaremos las identidades de transformación de suma a producto:
$$ \begin{array}{l} \text{sen } A + \text{sen } B = 2 \text{ sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \\ \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \end{array} $$
2. Transformación del sistema:
Aplicamos las identidades a las ecuaciones dadas:
$$ \begin{array}{ll} (1) & 2 \text{ sen}\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2} \\ (2) & 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} $$
3. División de ecuaciones:
Dividimos la ecuación (1) entre la ecuación (2) para eliminar el término $\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$:
$$ \frac{2 \text{ sen}\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)}{2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \implies \tan\left(\frac{x+y}{2}\right) = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3} $$
Como $0 < x, y < \pi$, entonces $0 < \frac{x+y}{2} < \pi$. El valor que satisface $\tan \theta = \sqrt{3}$ es $\theta = \frac{\pi}{3}$.
$$ \frac{x+y}{2} = \frac{\pi}{3} \implies x + y = \frac{2\pi}{3} \quad (3) $$
4. Hallar la diferencia de ángulos:
Sustituimos $\frac{x+y}{2} = \frac{\pi}{3}$ en la ecuación (2):
$$ 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies 2\left(\frac{1}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$
Esto nos da $\frac{x-y}{2} = \frac{\pi}{4}$ (tomando el valor positivo para el orden de la respuesta dada).
$$ x - y = \frac{\pi}{2} \quad (4) $$
5. Resolución del sistema lineal:
Sumando (3) y (4): $2x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{6} \implies x = \frac{7\pi}{12}$.
Restando (4) de (3): $2y = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} \implies y = \frac{\pi}{12}$.
$$ \boxed{x = \frac{7\pi}{12}, y = \frac{\pi}{12}} $$
Para resolver este sistema, utilizaremos las identidades de transformación de suma a producto:
$$ \begin{array}{l} \text{sen } A + \text{sen } B = 2 \text{ sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \\ \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \end{array} $$
2. Transformación del sistema:
Aplicamos las identidades a las ecuaciones dadas:
$$ \begin{array}{ll} (1) & 2 \text{ sen}\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2} \\ (2) & 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} $$
3. División de ecuaciones:
Dividimos la ecuación (1) entre la ecuación (2) para eliminar el término $\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$:
$$ \frac{2 \text{ sen}\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)}{2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \implies \tan\left(\frac{x+y}{2}\right) = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3} $$
Como $0 < x, y < \pi$, entonces $0 < \frac{x+y}{2} < \pi$. El valor que satisface $\tan \theta = \sqrt{3}$ es $\theta = \frac{\pi}{3}$.
$$ \frac{x+y}{2} = \frac{\pi}{3} \implies x + y = \frac{2\pi}{3} \quad (3) $$
4. Hallar la diferencia de ángulos:
Sustituimos $\frac{x+y}{2} = \frac{\pi}{3}$ en la ecuación (2):
$$ 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies 2\left(\frac{1}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$
Esto nos da $\frac{x-y}{2} = \frac{\pi}{4}$ (tomando el valor positivo para el orden de la respuesta dada).
$$ x - y = \frac{\pi}{2} \quad (4) $$
5. Resolución del sistema lineal:
Sumando (3) y (4): $2x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{6} \implies x = \frac{7\pi}{12}$.
Restando (4) de (3): $2y = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} \implies y = \frac{\pi}{12}$.
$$ \boxed{x = \frac{7\pi}{12}, y = \frac{\pi}{12}} $$