1. Análisis de las ecuaciones:
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($x, y$). Para resolverlo, eliminaremos una de las funciones trigonométricas utilizando la identidad fundamental: $\text{sen}^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.

2. Elevando al cuadrado:
Elevamos ambas ecuaciones al cuadrado para facilitar el uso de la identidad fundamental:
$$ \begin{array}{lcl} (\text{sen } x)^2 = (2 \text{ sen } y)^2 & \Rightarrow & \text{sen}^2 x = 4 \text{ sen}^2 y \quad \dots (1) \\ (\cos x)^2 = \left(\frac{1}{2} \cos y\right)^2 & \Rightarrow & \cos^2 x = \frac{1}{4} \cos^2 y \quad \dots (2) \end{array} $$

3. Expresando todo en términos de una sola función ($\cos$):
Transformamos los senos en cosenos usando $\text{sen}^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$:
En la ecuación (1):
$$ 1 - \cos^2 x = 4(1 - \cos^2 y) $$
Multiplicamos la ecuación (2) por 4 para despejar $\cos^2 y$:
$$ 4 \cos^2 x = \cos^2 y $$

4. Sustitución y resolución:
Sustituimos $\cos^2 y = 4 \cos^2 x$ en la ecuación transformada de los senos:
$$ 1 - \cos^2 x = 4 - 4(4 \cos^2 x) $$
$$ 1 - \cos^2 x = 4 - 16 \cos^2 x $$
Agrupamos términos semejantes:
$$ 15 \cos^2 x = 3 \Rightarrow \cos^2 x = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} $$
Por lo tanto:
$$ \cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} $$

5. Hallando el valor de $y$:
De la ecuación original $\cos x = \frac{1}{2} \cos y$, despejamos $\cos y$:
$$ \cos y = 2 \cos x $$

• Si $\cos x = \frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow \cos y = \frac{2}{\sqrt{5}}$


• Si $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow \cos y = -\frac{2}{\sqrt{5}}$

6. Verificación de signos:
De la primera ecuación original $\text{sen } x = 2 \text{ sen } y$, observamos que $\text{sen } x$ y $\text{sen } y$ deben tener el mismo signo. Esto se cumple para los pares de cosenos obtenidos ya que mantienen la consistencia en los cuadrantes correspondientes.

Resultado final:
Expresamos las soluciones en términos de la función arco coseno:
$$ \boxed{ \left( x = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) ; y = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \right) ; \left( x = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) ; y = \arccos\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \right) $$