1. Simplificación de las ecuaciones exponenciales:
En la primera ecuación, recordamos que $1 = 2^0$:
$$ \text{sen} x + \cos y = 0 \implies \text{sen} x = -\cos y \quad \text{--- (1)} $$

En la segunda ecuación, expresamos todo en base $4$ (o base $2$):
$$ (4^2)^{\text{sen}^2 x + \cos^2 y} = 4^1 \implies 4^{2(\text{sen}^2 x + \cos^2 y)} = 4^1 $$
Igualando exponentes:
$$ 2(\text{sen}^2 x + \cos^2 y) = 1 \implies \text{sen}^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{2} \quad \text{--- (2)} $$

2. Sustitución y resolución:
Sustituimos $(1)$ en $(2)$. Como $\text{sen} x = -\cos y$, entonces $\text{sen}^2 x = (-\cos y)^2 = \cos^2 y$:
$$ \cos^2 y + \cos^2 y = \frac{1}{2} \implies 2\cos^2 y = \frac{1}{2} \implies \cos^2 y = \frac{1}{4} $$
Obtenemos dos casos para $\cos y$:

• Caso A: $\cos y = \frac{1}{2} \implies \text{sen} x = -\frac{1}{2}$


• Caso B: $\cos y = -\frac{1}{2} \implies \text{sen} x = \frac{1}{2}$

3. Hallar los ángulos en el círculo trigonométrico:

• Para el Caso A:
  $\cos y = 1/2 \implies y = \{60^\circ, 300^\circ\}$.
  $\text{sen} x = -1/2 \implies x = \{210^\circ, 330^\circ\}$.
  Combinaciones: $(210^\circ, 60^\circ), (210^\circ, 300^\circ), (330^\circ, 60^\circ), (330^\circ, 300^\circ)$.
• Para el Caso B:
  $\cos y = -1/2 \implies y = \{120^\circ, 240^\circ\}$.
  $\text{sen} x = 1/2 \implies x = \{30^\circ, 150^\circ\}$.
  Combinaciones: $(30^\circ, 120^\circ), (30^\circ, 240^\circ), (150^\circ, 120^\circ), (150^\circ, 240^\circ)$.

Representación de signos por cuadrante:
$$ \begin{array}{c|c|c} \text{Cuadrante} & \text{Seno (+)} & \text{Coseno (+)} \\ \hline I & 0^\circ < \theta < 90^\circ & \text{Todos} \\ II & 90^\circ < \theta < 180^\circ & \text{Seno} \\ III & 180^\circ < \theta < 270^\circ & \text{Tangente} \\ IV & 270^\circ < \theta < 360^\circ & \text{Coseno} \\ \end{array} $$

4. Conclusión:
El sistema tiene 8 soluciones principales:
$$ \boxed{ \begin{array}{l} (210^\circ, 60^\circ); (210^\circ, 300^\circ); (330^\circ, 60^\circ); (330^\circ, 300^\circ) \\ (30^\circ, 120^\circ); (30^\circ, 240^\circ); (150^\circ, 120^\circ); (150^\circ, 240^\circ) \end{array} $$