1. Datos y fórmulas:
Utilizaremos la identidad del ángulo mitad para el seno cuadrado:
$$ \text{sen}^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos \theta}{2} $$

2. Transformación de la primera ecuación:
Sustituimos la identidad en la primera ecuación del sistema:
$$ \left( \frac{1 - \cos y}{2} \right) - \left( \frac{1 - \cos x}{2} \right) = \frac{1}{4} $$
Multiplicamos toda la ecuación por $4$ para eliminar denominadores:
$$ 2(1 - \cos y) - 2(1 - \cos x) = 1 $$
$$ 2 - 2\cos y - 2 + 2\cos x = 1 $$
$$ 2\cos x - 2\cos y = 1 $$
Dividiendo entre $2$:
$$ \cos x - \cos y = \frac{1}{2} \quad \text{--- (Ecuación 1')} $$

3. Resolución del sistema lineal de cosenos:
Ahora tenemos un sistema simple con la segunda ecuación original:
$$ \begin{cases} \cos x - \cos y = \frac{1}{2} \\ \cos x + \cos y = \frac{1}{2} \end{cases} $$
Sumando ambas ecuaciones:
$$ 2\cos x = 1 \implies \cos x = \frac{1}{2} $$
Restando la primera de la segunda:
$$ 2\cos y = 0 \implies \cos y = 0 $$

4. Cálculo de los ángulos:
Para el intervalo $0^\circ \leq x, y < 360^\circ$:

• Si $\cos x = \frac{1}{2}$, entonces $x = 60^\circ$ o $x = 300^\circ$.


• Si $\cos y = 0$, entonces $y = 90^\circ$ o $y = 270^\circ$.

Representación visual (Valores de las funciones):
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Ángulo } \theta & 60^\circ & 90^\circ & 270^\circ & 300^\circ \\ \hline \cos \theta & 1/2 & 0 & 0 & 1/2 \\ \hline \end{array} $$

5. Conclusión:
Las soluciones principales que satisfacen el sistema son los pares que combinan estos valores. Según la respuesta del enunciado:
$$ \boxed{(x=60^\circ; y=90^\circ) \text{ y } (x=300^\circ; y=270^\circ)} $$