1. Datos iniciales:
Sabemos que $\frac{\pi}{4}$ es equivalente a $45^\circ$ en el sistema sexagesimal. Por lo tanto, planteamos la relación $x + y = 45^\circ$.

2. Uso de la identidad de la tangente de la suma:
La fórmula para la tangente de la suma de dos ángulos es:
$$ \tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} $$
Sustituimos los valores conocidos del sistema original ($\tan x + \tan y = 1$) y el valor de la suma ($x+y=45^\circ$):
$$ \tan(45^\circ) = \frac{1}{1 - \tan x \tan y} $$
Dado que $\tan(45^\circ) = 1$, la ecuación se simplifica como:
$$ 1 = \frac{1}{1 - \tan x \tan y} \implies 1 - \tan x \tan y = 1 \implies \tan x \tan y = 0 $$

3. Análisis de la condición de producto cero:
Para que el producto de dos términos sea igual a cero, al menos uno de ellos debe ser nulo:

• Caso A: $\tan x = 0$. En el intervalo principal, esto ocurre cuando $x = 0$ (o en radianes $x = 0$).
  Sustituyendo en la primera ecuación $x + y = \frac{\pi}{4}$:
  $$ 0 + y = \frac{\pi}{4} \implies y = \frac{\pi}{4} $$
• Caso B: $\tan y = 0$. Esto ocurre cuando $y = 0$.
  Sustituyendo en la primera ecuación $x + y = \frac{\pi}{4}$:
  $$ x + 0 = \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{\pi}{4} $$

4. Representación de las soluciones:
Podemos verificar los pares ordenados $(x, y)$ obtenidos:
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & \tan x + \tan y & \text{Resultado} \\ \hline \pi/4 & 0 & 1 + 0 = 1 & \text{Correcto} \\ 0 & \pi/4 & 0 + 1 = 1 & \text{Correcto} \\ \hline \end{array} $$

Considerando la periodicidad de la función tangente, las soluciones generales para $k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$ que satisfacen ambas condiciones simultáneamente son:

$$ \boxed{ \begin{array}{l} \text{Solución 1: } (x, y) = \left( k\pi, \frac{\pi}{4} - k\pi \right) \\ \text{Solución 2: } (x, y) = \left( \frac{\pi}{4} - k\pi, k\pi \right) \end{array} $$