1. Uso de identidades de ángulo medio:
Recordemos que:
$$ \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \cos \alpha}{2}, \quad \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos \alpha}{2} $$
Sustituimos en la primera ecuación:
$$ \frac{1 + \cos x}{2} + \frac{1 - \cos y}{2} = 1 \implies 1 + \cos x + 1 - \cos y = 2 $$
$$ \cos x - \cos y = 0 \implies \cos x = \cos y $$
Esto implica que $x = y$ (considerando soluciones básicas).

2. Sustitución en la segunda ecuación:
Sustituimos $y = x$ en $2 \cos x + 4 \sin^2 y = 4$:
$$ 2 \cos x + 4 \sin^2 x = 4 $$
Usamos $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:
$$ 2 \cos x + 4(1 - \cos^2 x) = 4 \implies 2 \cos x + 4 - 4 \cos^2 x = 4 $$
$$ -4 \cos^2 x + 2 \cos x = 0 \implies 2 \cos x (1 - 2 \cos x) = 0 $$

3. Análisis de casos:

• Caso 1: $2 \cos x = 0 \implies \cos x = 0$.
  Para $x \in [0, 360^\circ]$, $x = 90^\circ$. Como $x=y$, entonces $y = 90^\circ$.
• Caso 2: $1 - 2 \cos x = 0 \implies \cos x = 1/2$.
  Para $x \in [0, 360^\circ]$, $x = 60^\circ$. Como $x=y$, entonces $y = 60^\circ$.

Resumen de soluciones:
$$ \begin{array}{l} \text{Solución 1: } (x = 60^\circ; y = 60^\circ) \\ \text{Solución 2: } (x = 90^\circ; y = 90^\circ) \end{array} $$

$$ \boxed{(x = 60^\circ; y = 60^\circ), (x = 90^\circ; y = 90^\circ)} $$