1. Datos y fórmulas:
Para resolver este sistema, utilizaremos las identidades de transformación de suma a producto:
$$ \begin{array}{l} \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \\ \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \end{array} $$

2. Transformación de las ecuaciones:
Aplicamos las identidades al sistema original:
$$ \begin{cases} 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \sqrt{2} \quad \text{--- (Ec. 1)} \\ 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \sqrt{2} \quad \text{--- (Ec. 2)} \end{cases} $$

3. División de ecuaciones:
Dividimos la (Ec. 1) entre la (Ec. 2) para eliminar el término común $\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$:
$$ \frac{2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)}{2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \implies \tan\left(\frac{x+y}{2}\right) = 1 $$
Para la primera vuelta ($0^\circ \leq \frac{x+y}{2} < 360^\circ$):
$$ \frac{x+y}{2} = 45^\circ \implies x + y = 90^\circ $$

4. Cálculo de la diferencia:
Sustituimos $\sin\left(\frac{x+y}{2}\right) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ en la (Ec. 1):
$$ 2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \sqrt{2} \implies \sqrt{2} \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \sqrt{2} $$
$$ \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = 1 \implies \frac{x-y}{2} = 0^\circ \implies x - y = 0^\circ $$

5. Resolución del sistema lineal resultante:
$$ \begin{cases} x + y = 90^\circ \\ x - y = 0^\circ \end{cases} \implies 2x = 90^\circ \implies x = 45^\circ, \quad y = 45^\circ $$

Representación de valores en el primer cuadrante:
$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Ángulo} & \sin(\theta) & \cos(\theta) \\ \hline 45^\circ & \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \\ \hline \end{array} $$
Verificación: $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. Cumple.

$$ \boxed{(x = 45^\circ; y = 45^\circ)} $$