1. Expresar todo en términos de tangentes:
Recordando que $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$, el sistema se convierte en:
$$ \begin{array}{ll} (1) & \tan x + \frac{1}{\tan y} = 8 \implies \frac{\tan x \tan y + 1}{\tan y} = 8 \\ (2) & \frac{1}{\tan x} + \tan y = \frac{8}{7} \implies \frac{1 + \tan x \tan y}{\tan x} = \frac{8}{7} \end{array} $$

2. Relacionar las ecuaciones:
Dividimos la ecuación (1) entre la ecuación (2):
$$ \frac{\frac{1 + \tan x \tan y}{\tan y}}{\frac{1 + \tan x \tan y}{\tan x}} = \frac{8}{8/7} $$
Simplificando el término común $(1 + \tan x \tan y)$ y aplicando la regla de extremos y medios:
$$ \frac{\tan x}{\tan y} = 7 \implies \tan x = 7 \tan y $$

3. Sustitución para hallar las funciones:
Sustituimos $\tan x$ en la ecuación (1) original:
$$ 7 \tan y + \frac{1}{\tan y} = 8 $$
Multiplicamos por $\tan y$ para formar una ecuación cuadrática:
$$ 7 \tan^2 y - 8 \tan y + 1 = 0 $$
Factorizamos:
$$ (7 \tan y - 1)(\tan y - 1) = 0 $$

4. Obtención de ángulos:

Si $\tan y = 1$:
$$ y = 45^\circ, 225^\circ \dots $$
Calculamos $\tan x = 7(1) = 7$:
$$ x = \arctan(7), 180^\circ + \arctan(7) \dots $$

Si $\tan y = \frac{1}{7}$:
$$ y = \arctan\left(\frac{1}{7}\right), 180^\circ + \arctan\left(\frac{1}{7}\right) \dots $$
Calculamos $\tan x = 7\left(\frac{1}{7}\right) = 1$:
$$ x = 45^\circ, 225^\circ \dots $$

Representación de cuadrantes:
Puesto que $\tan$ es positiva en el I y III cuadrante, las soluciones se agrupan en pares que mantengan la igualdad original.

Resultado final:
$$ \boxed{ \begin{array}{ll} (x = \arctan 7; y = 45^\circ); & (x = 45^\circ; y = \arctan \frac{1}{7}) \\ (x = 180^\circ + \arctan 7; y = 225^\circ); & (x = 225^\circ; y = 180^\circ + \arctan \frac{1}{7}) \end{array} $$