Para resolver esta ecuación, aplicaremos la función seno a ambos lados de la igualdad, recordando la identidad del ángulo doble para el seno: $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$.

1. Aplicación de la función seno:
$$ \sin(2 \arcsin x) = \sin \left( \arcsin \left( \frac{10}{13}x \right) \right) $$

Por definición, $\sin(\arcsin \alpha) = \alpha$, por lo tanto:
$$ \sin(2 \arcsin x) = \frac{10}{13}x $$

2. Uso de la identidad del ángulo doble:
Sea $\theta = \arcsin x$. Entonces $\sin \theta = x$. Por Pitágoras, $\cos \theta = \sqrt{1 - x^2}$.
La identidad nos dice:
$$ 2 \sin(\arcsin x) \cos(\arcsin x) = \frac{10}{13}x $$
$$ 2x \sqrt{1 - x^2} = \frac{10}{13}x $$

3. Factorización y resolución:
Trasponemos los términos para igualar a cero:
$$ 2x \sqrt{1 - x^2} - \frac{10}{13}x = 0 $$
Factorizamos $x$:
$$ x \left( 2 \sqrt{1 - x^2} - \frac{10}{13} \right) = 0 $$

\begin{array}{ll}
\text{Caso 1: } & x = 0 \\
\text{Caso 2: } & 2 \sqrt{1 - x^2} = \frac{10}{13} \implies \sqrt{1 - x^2} = \frac{5}{13}
\end{array}

4. Análisis del Caso 2:
Elevamos al cuadrado:
$$ 1 - x^2 = \frac{25}{169} \implies x^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} $$
$$ x = \pm \frac{12}{13} $$

5. Verificación de restricciones:
El rango de $\arcsin$ es $[-\pi/2, \pi/2]$. Por tanto, para $2 \arcsin x$, debemos tener $-\pi/2 \leq 2 \arcsin x \leq \pi/2$, lo que implica $-\pi/4 \leq \arcsin x \leq \pi/4$.
Esto significa que $|x| \leq \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$.
Sin embargo, $\frac{12}{13} \approx 0.923$, lo cual es mayor que $0.707$. Al sustituir $x = \frac{12}{13}$, el valor de $2 \arcsin x$ sale del rango principal de la función arcoseno del lado derecho. Por lo tanto, $x = \pm \frac{12}{13}$ son soluciones extrañas.

6. Conclusión:
La única solución válida en el dominio real de la función es $x = 0$.

$$ \boxed{x = 0} $$