Para resolver esta ecuación, utilizaremos la identidad de la resta de arcotangentes:
$$ \arctan A - \arctan B = \arctan \left( \frac{A - B}{1 + AB} \right) $$

1. Identificación de términos:
En este caso, tenemos:
$$ A = x + 1, \quad B = x - 1 $$

2. Aplicación de la fórmula:
Sustituimos $A$ y $B$ en el lado izquierdo de la ecuación:
$$ \arctan \left( \frac{(x + 1) - (x - 1)}{1 + (x + 1)(x - 1)} \right) = \arctan 2 $$

3. Simplificación del argumento:
Simplificamos el numerador y el denominador:
$$ \text{Numerador: } (x + 1) - (x - 1) = x + 1 - x + 1 = 2 $$
$$ \text{Denominador: } 1 + (x^2 - 1) = x^2 $$

Entonces la ecuación se transforma en:
$$ \arctan \left( \frac{2}{x^2} \right) = \arctan 2 $$

4. Igualación de los argumentos:
Como la función arcotangente es inyectiva en su dominio principal, podemos igualar los argumentos:
$$ \frac{2}{x^2} = 2 $$

5. Resolución de la ecuación algebraica:
Dividimos ambos lados por 2:
$$ \frac{1}{x^2} = 1 \implies x^2 = 1 $$
Extrayendo la raíz cuadrada:
$$ x = \pm 1 $$

6. Verificación:

• Si $x = 1$: $\arctan(2) - \arctan(0) = \arctan 2 - 0 = \arctan 2$ (Correcto).
• Si $x = -1$: $\arctan(0) - \arctan(-2) = 0 - (-\arctan 2) = \arctan 2$ (Correcto).

$$ \boxed{x = \pm 1} $$