1. Definición de variables:
Sea $\alpha = \arctan \frac{1}{2}$, entonces $\tan \alpha = \frac{1}{2}$.
Sea $\beta = \arctan x$, entonces $\tan \beta = x$.

2. Cálculo de $2\alpha$:
Usamos la fórmula de la tangente del ángulo doble:
$$\tan(2\alpha) = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = \frac{2(1/2)}{1 - (1/2)^2} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$$
Por lo tanto, $2 \arctan \frac{1}{2} = \arctan \frac{4}{3}$.

3. Reemplazo en la ecuación original:
$$\arctan \frac{4}{3} - \arctan x = \frac{\pi}{4}$$

4. Aplicación de la tangente a ambos lados:
Recordamos la fórmula: $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$.
$$\tan \left( \arctan \frac{4}{3} - \arctan x \right) = \tan \frac{\pi}{4}$$
$$\frac{\frac{4}{3} - x}{1 + \left( \frac{4}{3} \right) x} = 1$$

5. Despeje de $x$:
Multiplicamos ambos lados por el denominador $(1 + \frac{4}{3}x)$:
$$\frac{4}{3} - x = 1 + \frac{4}{3}x$$
Multiplicamos toda la ecuación por $3$ para eliminar fracciones:
$$4 - 3x = 3 + 4x$$
Agrupamos términos semejantes:
$$4 - 3 = 4x + 3x$$
$$1 = 7x$$
$$x = \frac{1}{7}$$

El resultado final es:
$$ \boxed{x = \frac{1}{7}} $$