Para resolver esta ecuación, primero agrupamos los términos de manera conveniente para aplicar identidades conocidas.

1. Reordenamiento de la ecuación:
Pasamos los términos con el mismo argumento a un lado o agrupamos tangentes con tangentes y cotangentes con cotangentes:
$$\tan 3x - \cot 3x = \tan x - \cot x$$

2. Aplicación de identidades auxiliares:
Recordemos la identidad de la diferencia entre la tangente y la cotangente de un mismo ángulo:
$$\tan \theta - \cot \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} - \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}$$
Utilizando el ángulo doble:
$$\tan \theta - \cot \theta = \frac{-(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)}{\frac{1}{2}(2 \sin \theta \cos \theta)} = \frac{-\cos 2\theta}{\frac{1}{2} \sin 2\theta} = -2 \cot 2\theta$$

3. Sustitución en la ecuación original:
Aplicamos esta identidad a ambos lados de la igualdad:
$$-2 \cot(2 \cdot 3x) = -2 \cot(2 \cdot x)$$
$$-2 \cot 6x = -2 \cot 2x$$
Dividiendo entre $-2$:
$$\cot 6x = \cot 2x$$

4. Solución general:
La función cotangente es igual cuando sus ángulos difieren en un múltiplo de $\pi$ ($180^\circ$):
$$6x = 180^\circ k + 2x, \quad k \in \mathbb{Z}$$
$$4x = 180^\circ k$$
$$x = 45^\circ k$$

5. Cálculo de las dos primeras soluciones:
Debemos verificar que las soluciones no indeterminen la ecuación original (donde $\tan \theta$ o $\cot \theta$ no existan).

• Si $k=1$: $x = 45^\circ(1) = 45^\circ$.
• Si $k=2$: $x = 45^\circ(2) = 90^\circ$. (No es válida porque $\tan 90^\circ$ es indefinido).
• Si $k=3$: $x = 45^\circ(3) = 135^\circ$.

Por lo tanto, las dos primeras soluciones válidas son:
$$ \boxed{x = 45^\circ; 135^\circ} $$