1. Identidades de suma y resta para la tangente:
Recordamos que $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$:
$$ \tan\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan x + 1}{1 - \tan x} $$
$$ \tan\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan x - 1}{1 + \tan x} $$

2. Sustitución en la ecuación:
$$ \left( \frac{\tan x + 1}{1 - \tan x} \right) \left( \frac{\tan x - 1}{1 + \tan x} \right) = \cot x $$
Simplificamos los términos $(\tan x + 1)$ y $(1 + \tan x)$:
$$ \frac{\tan x - 1}{1 - \tan x} = \cot x $$

3. Simplificación algebraica:
Observamos que $1 - \tan x = -(\tan x - 1)$:
$$ \frac{\tan x - 1}{-(\tan x - 1)} = \cot x \implies -1 = \cot x $$

4. Búsqueda de la solución en el II Cuadrante:
Sabemos que $\cot x = -1$ cuando $x$ es un múltiplo de $45^\circ$ en los cuadrantes donde la cotangente es negativa (II y IV).
$$ \begin{array}{l} \text{II Cuadrante: } 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \\ \text{IV Cuadrante: } 360^\circ - 45^\circ = 315^\circ \end{array} $$
El problema solicita específicamente la solución del segundo cuadrante.

Representación en el círculo unitario:
$$ \begin{array}{c} \text{Posición de la solución} \\ \hline \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Cuadrante} & \text{Ángulo } x \\ \hline \text{II} & 135^\circ \\ \hline \end{array} \end{array} $$

$$ \boxed{x = 135^\circ} $$