1. Propiedad:
Recordemos la identidad de la tangente de una suma de tres ángulos:
$$ \tan(A+B+C) = \frac{\tan A + \tan B + \tan C - \tan A \tan B \tan C}{1 - (\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A)} $$

2. Análisis:
Si la ecuación dada se cumple, el numerador de la fracción anterior es igual a cero:
$$ \tan x + \tan 2x + \tan 3x - \tan x \tan 2x \tan 3x = 0 $$
Esto implica que:
$$ \tan(x + 2x + 3x) = 0 \quad \Rightarrow \quad \tan 6x = 0 $$
Sin embargo, debemos tener cuidado con los puntos donde las tangentes individuales no están definidas (restricciones de dominio).

La solución general de $\tan 6x = 0$ es $6x = n\pi \Rightarrow x = \frac{n\pi}{6}$.
Pero si evaluamos valores como $x = \frac{\pi}{6}$, observamos que $\tan 3x = \tan(\frac{\pi}{2})$ lo cual es indefinido.

Para que la ecuación tenga sentido, todos los términos deben estar definidos. Al verificar los valores $x = \frac{n\pi}{3}$, observamos que:

• Si $x = \frac{\pi}{3}$, $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, $\tan \frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$ y $\tan \pi = 0$.


• Sustituyendo: $\sqrt{3} + (-\sqrt{3}) + 0 = \sqrt{3}(-\sqrt{3})(0) \Rightarrow 0 = 0$. Funciona.

Por lo tanto, las soluciones válidas corresponden a:
$$ \boxed{x = \left( \frac{n}{3} \right) \pi} $$