1. Datos y fórmulas:
Usamos la identidad de suma de senos a producto:
$$ \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $$

2. Desarrollo:
Transformamos el lado izquierdo con $A = 4x$ y $B = 2x$:
$$ 2 \sin\left(\frac{4x+2x}{2}\right) \cos\left(\frac{4x-2x}{2}\right) = 2 \sin 3x $$
$$ 2 \sin 3x \cos x = 2 \sin 3x $$

Simplificamos el coeficiente $2$ y factorizamos:
$$ \sin 3x \cos x - \sin 3x = 0 $$
$$ \sin 3x (\cos x - 1) = 0 $$

Analizamos los factores:

Factor 1: $\sin 3x = 0$
Las soluciones para el seno igual a cero son múltiplos de $180^\circ$:
$$ 3x = 0^\circ, 180^\circ, 360^\circ, 540^\circ, 720^\circ, 900^\circ, \dots $$
$$ x = 0^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 180^\circ, 240^\circ, 300^\circ $$

Factor 2: $\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1$
$$ x = 0^\circ, 360^\circ, \dots $$
(Estas ya están contenidas o en el borde del conjunto anterior).

3. Resultado:
$$ \boxed{x = 0^\circ; 60^\circ; 120^\circ; 180^\circ; 240^\circ; 300^\circ} $$