1. Datos y fórmulas:
Utilizaremos la identidad del ángulo doble para el coseno: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.

2. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos en la ecuación:
$$ \cos^2 x - \sin^2 x = 5 \sin^2 x - \cos^2 x $$
Agrupamos los términos semejantes:
$$ \begin{array}{rcl} \cos^2 x + \cos^2 x &=& 5 \sin^2 x + \sin^2 x \\ 2 \cos^2 x &=& 6 \sin^2 x \end{array} $$

3. Transformación a tangente:
$$ 1 = 3 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \implies \tan^2 x = \frac{1}{3} $$
Extrayendo la raíz cuadrada:
$$ \tan x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} $$

4. Determinación de ángulos:
Los valores de $x$ para los cuales la tangente es $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ son:
$$ \begin{array}{l} \text{Primer cuadrante: } x = 30^\circ \\ \text{Segundo cuadrante: } x = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \\ \text{Tercer cuadrante: } x = 180^\circ + 30^\circ = 210^\circ \\ \text{Cuarto cuadrante: } x = 360^\circ - 30^\circ = 330^\circ \end{array} $$

Resultado:
$$ \boxed{x = 30^\circ; 150^\circ; 210^\circ; 330^\circ} $$