Para resolver esta ecuación, debemos expresar todas las funciones en términos de un mismo ángulo. Utilizaremos la identidad del ángulo doble (o mitad) para el coseno.

1. Identidad utilizada:
Recordemos que $\cos x = 1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}$. Sustituimos esto en la ecuación original:
$$ \sin \frac{x}{2} + \left( 1 - 2\sin^2 \frac{x}{2} \right) = 1 $$

2. Simplificación algebraica:
Restamos 1 en ambos lados:
$$ \sin \frac{x}{2} - 2\sin^2 \frac{x}{2} = 0 $$
Multiplicamos por $-1$ para facilitar la factorización:
$$ 2\sin^2 \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} = 0 $$

3. Factorización:
Factorizamos el término común $\sin \frac{x}{2}$:
$$ \sin \frac{x}{2} \left( 2\sin \frac{x}{2} - 1 \right) = 0 $$

4. Soluciones individuales:

Caso 1:
$$ \sin \frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = 0^\circ, 180^\circ \dots $$
$$ x = 0^\circ, 360^\circ \dots $$
Tomamos $x = 0^\circ$ dentro del rango estándar de una vuelta.

Caso 2:
$$ 2\sin \frac{x}{2} - 1 = 0 \implies \sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2} $$
Esto ocurre cuando el ángulo es $30^\circ$ o $150^\circ$:
$$ \begin{array}{l} \text{a) } \frac{x}{2} = 30^\circ \implies x = 60^\circ \\ \text{b) } \frac{x}{2} = 150^\circ \implies x = 300^\circ \end{array} $$

Resultado:
$$ \boxed{x = 0^\circ; 60^\circ; 300^\circ} $$