Para resolver este problema, aplicamos la propiedad del producto nulo, la cual establece que si el producto de dos factores es cero, al menos uno de ellos debe serlo.

1. Datos y estructura:
La ecuación ya se encuentra factorizada:
$$ \underbrace{(\tan x - 1)}_{f_1} \cdot \underbrace{(2 \sin x + 1)}_{f_2} = 0 $$

2. Análisis de factores:

Caso A: Primer factor igual a cero
$$ \begin{array}{rcl} \tan x - 1 &=& 0 \\ \tan x &=& 1 \end{array} $$
Sabemos que la función tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante. Los ángulos son:
$$ x_1 = 45^\circ \quad \text{y} \quad x_2 = 180^\circ + 45^\circ = 225^\circ $$

Caso B: Segundo factor igual a cero
$$ \begin{array}{rcl} 2 \sin x + 1 &=& 0 \\ 2 \sin x &=& -1 \\ \sin x &=& -\frac{1}{2} \end{array} $$
La función seno es negativa en el tercer y cuarto cuadrante. El ángulo de referencia es $30^\circ$:
$$ x_3 = 180^\circ + 30^\circ = 210^\circ \quad \text{y} \quad x_4 = 360^\circ - 30^\circ = 330^\circ $$

3. Representación de soluciones por cuadrante:
$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Cuadrante} & \text{Ecuación} & \text{Ángulos} \\ \hline I & \tan x = 1 & 45^\circ \\ III & \tan x = 1, \sin x = -1/2 & 225^\circ, 210^\circ \\ IV & \sin x = -1/2 & 330^\circ \\ \hline \end{array} $$

Resultado:
Ordenando las soluciones de menor a mayor:
$$ \boxed{x = 45^\circ; 210^\circ; 225^\circ; 330^\circ} $$