Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TREC_095
Examen de admisión
Enunciado
Halle todas las soluciones de la ecuación trigonométrica:
$$\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} x \cos x = 1 + \cos x + \cos^2 x$$
$$\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} x \cos x = 1 + \cos x + \cos^2 x$$
Solución Paso a Paso
1. Identificación de términos y factorización:
Observamos que el lado izquierdo de la ecuación tiene un factor común $\operatorname{sen} x$. Vamos a agrupar los términos de manera que podamos encontrar factores comunes en ambos lados:
$$ \operatorname{sen} x (1 + \cos x) = 1 + \cos x + \cos^2 x $$
2. Transposición de términos para factorizar:
Pasamos los términos $(1 + \cos x)$ al lado izquierdo para intentar una factorización por agrupación:
$$ \operatorname{sen} x (1 + \cos x) - (1 + \cos x) = \cos^2 x $$
$$ (1 + \cos x)(\operatorname{sen} x - 1) = \cos^2 x $$
3. Uso de identidades fundamentales:
Sabemos que $\cos^2 x = 1 - \operatorname{sen}^2 x$. Esta expresión es una diferencia de cuadrados que se puede factorizar como $(1 - \operatorname{sen} x)(1 + \operatorname{sen} x)$. Sustituimos en la ecuación:
$$ (1 + \cos x)(\operatorname{sen} x - 1) = (1 - \operatorname{sen} x)(1 + \operatorname{sen} x) $$
Para facilitar la factorización, podemos escribir $(1 - \operatorname{sen} x)$ como $-(\operatorname{sen} x - 1)$:
$$ (1 + \cos x)(\operatorname{sen} x - 1) = -(\operatorname{sen} x - 1)(1 + \operatorname{sen} x) $$
4. Agrupación y resolución:
Igualamos a cero:
$$ (1 + \cos x)(\operatorname{sen} x - 1) + (\operatorname{sen} x - 1)(1 + \operatorname{sen} x) = 0 $$
Extraemos el factor común $(\operatorname{sen} x - 1)$:
$$ (\operatorname{sen} x - 1) [(1 + \cos x) + (1 + \operatorname{sen} x)] = 0 $$
$$ (\operatorname{sen} x - 1) (\operatorname{sen} x + \cos x + 2) = 0 $$
5. Análisis de los factores:
Para que el producto sea cero, al menos uno de los factores debe ser cero:
Resultado:
La solución general es:
$$ \boxed{x = \left( \frac{4n + 1}{2} \right) \pi} $$
Observamos que el lado izquierdo de la ecuación tiene un factor común $\operatorname{sen} x$. Vamos a agrupar los términos de manera que podamos encontrar factores comunes en ambos lados:
$$ \operatorname{sen} x (1 + \cos x) = 1 + \cos x + \cos^2 x $$
2. Transposición de términos para factorizar:
Pasamos los términos $(1 + \cos x)$ al lado izquierdo para intentar una factorización por agrupación:
$$ \operatorname{sen} x (1 + \cos x) - (1 + \cos x) = \cos^2 x $$
$$ (1 + \cos x)(\operatorname{sen} x - 1) = \cos^2 x $$
3. Uso de identidades fundamentales:
Sabemos que $\cos^2 x = 1 - \operatorname{sen}^2 x$. Esta expresión es una diferencia de cuadrados que se puede factorizar como $(1 - \operatorname{sen} x)(1 + \operatorname{sen} x)$. Sustituimos en la ecuación:
$$ (1 + \cos x)(\operatorname{sen} x - 1) = (1 - \operatorname{sen} x)(1 + \operatorname{sen} x) $$
Para facilitar la factorización, podemos escribir $(1 - \operatorname{sen} x)$ como $-(\operatorname{sen} x - 1)$:
$$ (1 + \cos x)(\operatorname{sen} x - 1) = -(\operatorname{sen} x - 1)(1 + \operatorname{sen} x) $$
4. Agrupación y resolución:
Igualamos a cero:
$$ (1 + \cos x)(\operatorname{sen} x - 1) + (\operatorname{sen} x - 1)(1 + \operatorname{sen} x) = 0 $$
Extraemos el factor común $(\operatorname{sen} x - 1)$:
$$ (\operatorname{sen} x - 1) [(1 + \cos x) + (1 + \operatorname{sen} x)] = 0 $$
$$ (\operatorname{sen} x - 1) (\operatorname{sen} x + \cos x + 2) = 0 $$
5. Análisis de los factores:
Para que el producto sea cero, al menos uno de los factores debe ser cero:
- Caso 1: $\operatorname{sen} x - 1 = 0 \implies \operatorname{sen} x = 1$
La solución general para el seno igual a 1 es:
$$ x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi = \left( \frac{1 + 4n}{2} \right) \pi $$ - Caso 2: $\operatorname{sen} x + \cos x + 2 = 0 \implies \operatorname{sen} x + \cos x = -2$
Sabemos que el valor máximo de la expresión $\operatorname{sen} x + \cos x$ es $\sqrt{2} \approx 1.41$. Dado que $-2$ está fuera del rango de oscilación de esta función, este caso no tiene soluciones reales.
Resultado:
La solución general es:
$$ \boxed{x = \left( \frac{4n + 1}{2} \right) \pi} $$