Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TREC_086
2do Ex. II-2010
Enunciado
Paso 1:
Resuelva la ecuación: $2 \cos x \operatorname{sen}(x - 30^{\circ}) = -1$, y de soluciones de la 1ra vuelta.
Resuelva la ecuación: $2 \cos x \operatorname{sen}(x - 30^{\circ}) = -1$, y de soluciones de la 1ra vuelta.
Solución Paso a Paso
1. Datos y fórmulas:
La ecuación es $2 \cos x \operatorname{sen}(x - 30^{\circ}) = -1$.
Utilizaremos la identidad de producto a suma:
$$2 \cos A \operatorname{sen} B = \operatorname{sen}(A + B) - \operatorname{sen}(A - B)$$
2. Transformación de la ecuación:
Identificamos $A = x$ y $B = x - 30^{\circ}$:
$$ \begin{aligned} 2 \cos x \operatorname{sen}(x - 30^{\circ}) &= \operatorname{sen}(x + x - 30^{\circ}) - \operatorname{sen}(x - (x - 30^{\circ})) \\ &= \operatorname{sen}(2x - 30^{\circ}) - \operatorname{sen}(30^{\circ}) \end{aligned} $$
Sustituimos el valor de $\operatorname{sen}(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$ e igualamos a $-1$:
$$\operatorname{sen}(2x - 30^{\circ}) - \frac{1}{2} = -1$$
$$\operatorname{sen}(2x - 30^{\circ}) = -1 + \frac{1}{2}$$
$$\operatorname{sen}(2x - 30^{\circ}) = -\frac{1}{2}$$
3. Resolución para el ángulo doble:
Sea $\theta = 2x - 30^{\circ}$. Buscamos los valores de $\theta$ donde el seno es $-\frac{1}{2}$. Los ángulos base en la primera vuelta son $210^{\circ}$ y $330^{\circ}$. Como buscamos soluciones para $x$ en la primera vuelta ($0^{\circ} \leq x < 360^{\circ}$), el ángulo $2x - 30^{\circ}$ puede extenderse hasta aproximadamente $690^{\circ}$.
$$ \begin{array}{l} \text{1) } 2x - 30^{\circ} = 210^{\circ} \implies 2x = 240^{\circ} \implies x_1 = 120^{\circ} \\ \text{2) } 2x - 30^{\circ} = 330^{\circ} \implies 2x = 360^{\circ} \implies x_2 = 180^{\circ} \\ \text{3) } 2x - 30^{\circ} = 210^{\circ} + 360^{\circ} = 570^{\circ} \implies 2x = 600^{\circ} \implies x_3 = 300^{\circ} \\ \text{4) } 2x - 30^{\circ} = 330^{\circ} + 360^{\circ} = 690^{\circ} \implies 2x = 720^{\circ} \implies x_4 = 360^{\circ} \equiv 0^{\circ} \end{array} $$
4. Verificación:
Probamos $x = 0^{\circ}$: $2 \cos 0^{\circ} \operatorname{sen}(-30^{\circ}) = 2(1)(-1/2) = -1$. (Correcto)
Representación de soluciones en la primera vuelta:
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0^{\circ} & 120^{\circ} & 180^{\circ} & 300^{\circ} \\ \hline \operatorname{sol} & \text{Sí} & \text{Sí} & \text{Sí} & \text{Sí} \\ \hline \end{array} $$
$$ \boxed{x \in \{0^{\circ}, 120^{\circ}, 180^{\circ}, 300^{\circ}\}} $$
La ecuación es $2 \cos x \operatorname{sen}(x - 30^{\circ}) = -1$.
Utilizaremos la identidad de producto a suma:
$$2 \cos A \operatorname{sen} B = \operatorname{sen}(A + B) - \operatorname{sen}(A - B)$$
2. Transformación de la ecuación:
Identificamos $A = x$ y $B = x - 30^{\circ}$:
$$ \begin{aligned} 2 \cos x \operatorname{sen}(x - 30^{\circ}) &= \operatorname{sen}(x + x - 30^{\circ}) - \operatorname{sen}(x - (x - 30^{\circ})) \\ &= \operatorname{sen}(2x - 30^{\circ}) - \operatorname{sen}(30^{\circ}) \end{aligned} $$
Sustituimos el valor de $\operatorname{sen}(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$ e igualamos a $-1$:
$$\operatorname{sen}(2x - 30^{\circ}) - \frac{1}{2} = -1$$
$$\operatorname{sen}(2x - 30^{\circ}) = -1 + \frac{1}{2}$$
$$\operatorname{sen}(2x - 30^{\circ}) = -\frac{1}{2}$$
3. Resolución para el ángulo doble:
Sea $\theta = 2x - 30^{\circ}$. Buscamos los valores de $\theta$ donde el seno es $-\frac{1}{2}$. Los ángulos base en la primera vuelta son $210^{\circ}$ y $330^{\circ}$. Como buscamos soluciones para $x$ en la primera vuelta ($0^{\circ} \leq x < 360^{\circ}$), el ángulo $2x - 30^{\circ}$ puede extenderse hasta aproximadamente $690^{\circ}$.
$$ \begin{array}{l} \text{1) } 2x - 30^{\circ} = 210^{\circ} \implies 2x = 240^{\circ} \implies x_1 = 120^{\circ} \\ \text{2) } 2x - 30^{\circ} = 330^{\circ} \implies 2x = 360^{\circ} \implies x_2 = 180^{\circ} \\ \text{3) } 2x - 30^{\circ} = 210^{\circ} + 360^{\circ} = 570^{\circ} \implies 2x = 600^{\circ} \implies x_3 = 300^{\circ} \\ \text{4) } 2x - 30^{\circ} = 330^{\circ} + 360^{\circ} = 690^{\circ} \implies 2x = 720^{\circ} \implies x_4 = 360^{\circ} \equiv 0^{\circ} \end{array} $$
4. Verificación:
Probamos $x = 0^{\circ}$: $2 \cos 0^{\circ} \operatorname{sen}(-30^{\circ}) = 2(1)(-1/2) = -1$. (Correcto)
Representación de soluciones en la primera vuelta:
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0^{\circ} & 120^{\circ} & 180^{\circ} & 300^{\circ} \\ \hline \operatorname{sol} & \text{Sí} & \text{Sí} & \text{Sí} & \text{Sí} \\ \hline \end{array} $$
$$ \boxed{x \in \{0^{\circ}, 120^{\circ}, 180^{\circ}, 300^{\circ}\}} $$