1. Simplificación del lado izquierdo (LHS):
Recordamos que $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, por lo que $\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x$.
$$\text{LHS} = \frac{\cos^2 x - 4 \sin^2 x \cos^2 x}{4 \cos^2 x}$$
Factorizamos $\cos^2 x$ en el numerador:
$$\text{LHS} = \frac{\cos^2 x (1 - 4 \sin^2 x)}{4 \cos^2 x}$$
Cancelando $\cos^2 x$ (bajo la condición $\cos x \neq 0$):
$$\text{LHS} = \frac{1 - 4 \sin^2 x}{4} = \frac{1}{4} - \sin^2 x$$

2. Simplificación del lado derecho (RHS):
Usamos la identidad del producto de senos $\sin(A+B)\sin(A-B) = \sin^2 A - \sin^2 B$:
$$\text{RHS} = \sin^2 x - \sin^2 30^\circ$$
Como $\sin 30^\circ = 1/2$, entonces $\sin^2 30^\circ = 1/4$:
$$\text{RHS} = \sin^2 x - \frac{1}{4}$$

3. Igualación y resolución:
$$\frac{1}{4} - \sin^2 x = \sin^2 x - \frac{1}{4}$$
Agrupamos términos semejantes:
$$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \sin^2 x + \sin^2 x$$
$$\frac{1}{2} = 2 \sin^2 x \implies \sin^2 x = \frac{1}{4}$$
Extrayendo raíz cuadrada:
$$\sin x = \pm \frac{1}{2}$$

4. Valores de $x$:
Para $\sin x = 1/2$: $x = 30^\circ, 150^\circ$.
Para $\sin x = -1/2$: $x = 210^\circ, 330^\circ$.

$$ \boxed{x = 30^\circ, 150^\circ, 210^\circ, 330^\circ} $$