1. Transformación a senos y cosenos:
Sustituimos $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ y $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$:
$$\sin^3 x \left( 1 + \frac{\cos x}{\sin x} \right) + \cos^3 x \left( 1 + \frac{\sin x}{\cos x} \right) = \cos 2x$$
Simplificamos los términos dentro de los paréntesis:
$$\sin^3 x \left( \frac{\sin x + \cos x}{\sin x} \right) + \cos^3 x \left( \frac{\cos x + \sin x}{\cos x} \right) = \cos 2x$$
$$\sin^2 x (\sin x + \cos x) + \cos^2 x (\cos x + \sin x) = \cos 2x$$

2. Factorización del lado izquierdo:
Factorizamos el término común $(\sin x + \cos x)$:
$$(\sin x + \cos x) (\sin^2 x + \cos^2 x) = \cos 2x$$
Como $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, la ecuación se reduce a:
$$\sin x + \cos x = \cos 2x$$

3. Resolución de la ecuación simplificada:
Aplicamos la identidad del ángulo doble $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$:
$$\sin x + \cos x = (\cos x - \sin x) (\cos x + \sin x)$$
Igualamos a cero:
$$(\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x) (\cos x + \sin x) = 0$$
Factorizamos $(\cos x + \sin x)$:
$$(\cos x + \sin x) [1 - (\cos x - \sin x)] = 0$$
$$(\cos x + \sin x) (1 - \cos x + \sin x) = 0$$

4. Evaluación de factores:

• Factor 1: $\cos x + \sin x = 0 \implies \tan x = -1$.
  Las soluciones son $x = 135^\circ$ y $x = 315^\circ$.
• Factor 2: $1 - \cos x + \sin x = 0 \implies \cos x - \sin x = 1$.
  Al elevar al cuadrado o usar ángulos auxiliares, obtenemos soluciones como $x = 0^\circ, 270^\circ$. Sin embargo, en la ecuación original existen $\tan x$ y $\cot x$, lo que impone las restricciones $\sin x \neq 0$ y $\cos x \neq 0$. Por lo tanto, estas soluciones se descartan.

$$ \boxed{x = 135^\circ, 315^\circ} $$