1. Simplificación del lado izquierdo (LHS):
Observamos que el término $-\sin x \cos 2x - \sin 2x \cos x$ se puede factorizar como:
$$- (\sin x \cos 2x + \cos x \sin 2x)$$
Aplicando la identidad del seno de la suma de dos ángulos $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$, donde $A=x$ y $B=2x$:
$$\sin(x + 2x) = \sin 3x$$
Por lo tanto, el lado izquierdo queda:
$$\text{LHS} = 2 - \sin 3x$$

2. Simplificación del lado derecho (RHS):
Sea $\alpha = \frac{\pi}{4} - \frac{3x}{2}$. El lado derecho tiene la forma $( \cos \alpha - \sin \alpha )^2$.
Desarrollamos el binomio al cuadrado:
$$( \cos \alpha - \sin \alpha )^2 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha$$
Usando las identidades fundamentales $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ y $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$:
$$\text{RHS} = 1 - \sin(2\alpha)$$
Sustituimos el valor de $\alpha$:
$$2\alpha = 2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{3x}{2} \right) = \frac{\pi}{2} - 3x$$
Entonces:
$$\text{RHS} = 1 - \sin \left( \frac{\pi}{2} - 3x \right)$$
Por la propiedad de ángulos complementarios $\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$:
$$\text{RHS} = 1 - \cos 3x$$

3. Resolución de la ecuación resultante:
Igualamos los resultados obtenidos:
$$2 - \sin 3x = 1 - \cos 3x$$
$$\cos 3x - \sin 3x = -1$$
Multiplicamos por $-1$:
$$\sin 3x - \cos 3x = 1$$
Dividimos toda la ecuación por $\sqrt{2}$ para usar el método del ángulo auxiliar:
$$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 3x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 3x = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$\sin 3x \cos 45^\circ - \cos 3x \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin(3x - 45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

4. Cálculo de las soluciones:
Los ángulos cuyo seno es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ son $45^\circ$ y $135^\circ$ (más múltiplos de $360^\circ$):
$$ \begin{array}{l} \text{Caso 1: } 3x - 45^\circ = 45^\circ + 360^\circ k \implies 3x = 90^\circ + 360^\circ k \implies x = 30^\circ + 120^\circ k \\ \text{Caso 2: } 3x - 45^\circ = 135^\circ + 360^\circ k \implies 3x = 180^\circ + 360^\circ k \implies x = 60^\circ + 120^\circ k \end{array} $$
Para $k=0, 1, 2$, obtenemos las soluciones en el rango $[0^\circ, 360^\circ]$:
$$ \boxed{x = 30^\circ, 60^\circ, 150^\circ, 180^\circ, 270^\circ, 300^\circ} $$