1. Reducción al primer cuadrante:

• $\cos(\pi - x) = -\cos x$ (Segundo cuadrante, el coseno es negativo).
• $\text{sen}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2}\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right)$ (Propiedad de co-razones en el segundo cuadrante).

2. Reescritura de la ecuación:
Sustituyendo los valores reducidos:
$$ 1 - (-\cos x) - \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 \Rightarrow 1 + \cos x - \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 $$

3. Aplicación de identidad de ángulo mitad:
Sabemos que $1 + \cos x = 2 \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$. Sustituimos:
$$ 2 \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 $$

4. Factorización y resolución:
Factorizamos $\cos\left(\frac{x}{2}\right)$:
$$ \cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ 2 \cos\left(\frac{x}{2}\right) - 1 \right] = 0 $$

• Caso A: $\cos(x/2) = 0 \Rightarrow x/2 = 90^\circ \Rightarrow x = 180^\circ$.
• Caso B: $2 \cos(x/2) - 1 = 0 \Rightarrow \cos(x/2) = 1/2 \Rightarrow x/2 = 60^\circ \Rightarrow x = 120^\circ$.

5. Conclusión:
$$ \boxed{x = 120^\circ; 180^\circ} $$