1. Datos y sustitución de identidades:
Recordamos la identidad fundamental: $\sec^2 \beta = 1 + \tan^2 \beta$.
Sustituimos en la ecuación original:
$$ \tan^2 \beta + 3 \cot^2 \beta - (1 + \tan^2 \beta) = 0 $$

2. Simplificación:
Los términos $\tan^2 \beta$ se cancelan:
$$ 3 \cot^2 \beta - 1 = 0 \Rightarrow \cot^2 \beta = \frac{1}{3} $$
Invirtiendo la relación para obtener la tangente:
$$ \tan^2 \beta = 3 \Rightarrow \tan \beta = \pm \sqrt{3} $$

3. Determinación de los ángulos:
Analizamos los casos para la tangente en los cuatro cuadrantes:

• $\tan \beta = \sqrt{3} \Rightarrow \beta = 60^\circ$ (I C) y $\beta = 240^\circ$ (III C).
• $\tan \beta = -\sqrt{3} \Rightarrow \beta = 120^\circ$ (II C) y $\beta = 300^\circ$ (IV C).

4. Conclusión:
Las soluciones ordenadas son:
$$ \boxed{\beta = 60^\circ; 120^\circ; 240^\circ; 300^\circ} $$